Wir hatten das letzte Mal das C-G-Verfahren, das Verfahren der konjugierten Gradienten,

kennengelernt. Was jetzt noch fehlt, ist das genauere Konvergenzverständnis für dieses

Verfahren. Das Verfahren ist einerseits ein direktes Verfahren, in dem Sinn, dass es nach

maximal n Schritten, wenn n die Dimension des Problems löst, bei exakter Arithmetik die

exakte Lösung liefert, immer unter der generalen Voraussetzung, die Matrix, das zu lösen,

das Gleichungssystem, symmetrisch und positiv definiert. Das ist für große n eine nicht

wirklich hilfreicher Aussage, denn wir wollen ja eben keine 1000, 10.000, 100.000 Iterationen

machen, sondern wir wollen das als iteratives Verfahren verstehen und so wird es auch heute

verstanden. Das liegt daran, weil auch schon jede Karte iteration sinnvoll interpretiert

werden kann als eine Näherung an das betreffende Problem. Das hat was mit den sogenannten

Krüloff-Unterräumen zu tun. Daher kommt auch der umfassende Name Krüloff-Unterraumverfahren,

wenn es dann darum geht, diese Idee, die letztlich hinter dem Verfahren steckt, dann zu übertragen

auf allgemeinere Situationen, also insbesondere auf nicht-symmetrische Matrizen. Aber dieser

allgemeinere Zugang zu Krüloff-Unterraumverfahren, das möchte ich jetzt in der Vorlesung nicht

ansprechen, da fehlt jetzt einfach die Zeit dafür. Wir bleiben also beim CG-Verfahren

und dann seit der Vorkonditionierung, erinnern wir uns nochmal, was war die Eigenschaft? Wir

haben gesehen, wenn wir ein Gleichungssystem lösen mit einer symmetrischt-positive definierten

Matrix, ist das das Gleiche, als wenn wir ein quadratisches Funktional minimieren und

das wiederum ist das Gleiche, als wenn wir den Abstand minimieren des Argumentvektors

y zur unbekannten Lösung, aber der Abstand gemessen jetzt nicht zum Beispiel in der euklidischen

Norm, sondern in der von A erzeugten Energienorm. Und die Karte iterierte, die wir beim CG-Verfahren

ermitteln, oder die wir ermitteln, wenn wir eben konjugierte Richtungen, also bezüglich

des A-Skala-Produktes, ortogonale Richtungen, Ersuchrichtungen haben, das ist die wesentliche

Eigenschaft, die sich vorausgestellt hat. Die Karte iterierte minimiert genau dieses Funktional,

sondern nicht auf den ganzen Raum, sonst wäre es schon die Lösung, oder wenn es das tut,

ist es dann eben schon die Lösung, sondern eben auf einem allgemeinen K-dimensionalen,

affinen Raum, der die Gestalt hat x0, startiterierte plus, der heißt hier KK, AG0, das A bezieht

sich, wir haben ihn erstmal vorläufig definiert einfach als den Spann unserer ersten K-Suchrichtungen,

die Notation, also dieser lineare Anteil heißt dann Kater-Grülow-Unterraum, zu A und G0,

und diese Notation erschließt sich aus den Identitäten, die wir dafür hergeleitet haben.

Die eigentliche Definition, oder sozusagen verfahrensunabhängige Definition des Grülow-Unterraums

ist einfach zu sagen, wir haben einen Startvektor, oder einen Bezugsvektor, ist vielleicht besser

zu sagen, das ist hier in unserem Fall G0, also der Gradient in der Nullten iterierten,

das Residuum in der Nullten iterierten, und wir nehmen sukzessive von diesem Vektor die

Potenzen unter A, bis wir eben, bis wir zur K-1-Potenz kommen.

Das ist das Gleiche, in dem Fall hatten wir uns überlegt, wie die gerade genannte Definition

in unserem Fall ist, ist auch das Gleiche der Raum, wie der Spann der ersten K-Gradienten.

Okay, also auf diese Beziehung, diese Minimierungsbeziehung setzen dann letztlich alle Identitäten auf,

zum Beispiel diese ganzen Autogonalitätsbeziehungen, die wir eben daraus ableiten, weil wir wissen,

Minimierung auf einem affinen Raum bedeutet, dass der Defekt senkrecht steht auf dem linearen

Anteil des Raums, der Fehler ist der Fehler, sollte ich vielleicht besser sagen, ist hier Fehler,

Defekt haben wir jetzt schon belegt, das Wort ist der Fehler, senkrecht steht auf dem linearen Anteil.

Gut, okay, jetzt schauen wir mal, was wir daraus ableiten können, wirklich zur

Abroximationsgüte, wie das Verfahren aussieht, hatten wir gesehen, es ist denkbar einfach,

wir müssen im Wesentlichen zwei Zahlen berechnen, die sich wiederum aus Skalarprodukten ergeben,

und in diesen Zahlen haben wir ganz einfache SaxBee Update Formeln, sowohl für die neue

etablierte, als auch den neuen Gradienten, als auch die neue Suchrichtung.

Okay, so, das war das letzte, was wir uns überlegt haben, das, was wir hier machen,

man kann jetzt sagen, okay, wenn ich jetzt wirklich das möchte, dann, also wir haben dann einen Ansatz, ich weise nochmal auf das Wesentliche,

und für mich wirklich, vielleicht ist es für Sie nicht so erstaunlich, für mich ist es erstaunlich,